Question

3．學(xué)校需要購買一批籃球和足球，已知一個籃球比一個足球的進(jìn)價高30元，買兩個籃球和三個足球一共需要510元．
（1）求籃球和足球的單價；
（2）根據(jù)實際需要，學(xué)校決定購買籃球和足球共100個，其中籃球購買的數(shù)量不少于足球數(shù)量的$\frac{2}{3}$，學(xué)�？捎糜谫徺I這批籃球和足球的資金最多為10500元．請問有幾種購買方案？
（3）若購買籃球x個，學(xué)校購買這批籃球和足球的總費用為y（元），在（2）的條件下，求哪種方案能使y最小，并求出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)一個籃球x元，則一個足球（x-30）元，根據(jù)“買兩個籃球和三個足球一共需要510元”列出方程，即可解答；
（2）設(shè)購買籃球x個，足球（100-x）個，根據(jù)“籃球購買的數(shù)量不少于足球數(shù)量的$\frac{2}{3}$，學(xué)�？捎糜谫徺I這批籃球和足球的資金最多為10500元”，列出不等式組，求出x的取值范圍，由x為正整數(shù)，即可解答；
（3）表示出總費用y，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可確定x的取值，即可確定最小值．

解答 解：（1）設(shè)一個籃球x元，則一個足球（x-30）元，由題意得：
2x+3（x-30）=510，
解得：x=120，
∴一個籃球120元，一個足球90元．

（2）設(shè)購買籃球x個，足球（100-x）個，
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{2}{3}（100-x）}\\{120x+90（100-x）≤10500}\end{array}\right.$，
解得：40≤x≤50，
∵x為正整數(shù)，
∴x=40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，
∴共有11種購買方案．   

（3）由題意可得y=120x+90（100-x）=30x+9000（40≤x≤50）
∵k=30＞0，
∴y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=40時，y有最小值，y_最小=30×40+9000=10200（元），
所以當(dāng)x=40時，y最小值為10200元．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，列出一元一次方程和一元一次不等式組，應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．