Question

8．（1）如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，求證：CD：BD=AC：AB．證明：過點A作AG⊥BC于點G，過點D分別作DE⊥AC于點E，DF⊥AB于點F．請完成后面的證明；
（2）如圖2，在菱形ABCD中，點E是AB的中點，連接DE交AC于點F，直接利用（1）的結(jié)論求AF：FC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，根據(jù)三角形的面積公式證明即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB∥CD，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△AEF∽△DCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．

解答 （1）證明：過點A作AG⊥BC于點G，過點D分別作DE⊥AC于點E，DF⊥AB于點F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
△ADC的面積=$\frac{1}{2}$×AC×DE=$\frac{1}{2}$×CD×AG，
△ADB的面積=$\frac{1}{2}$×AB×DF=$\frac{1}{2}$×BD×AG，
∴CD：BD=AC：AB；
（2）解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴AE：CD=AF：FC，
∴AF：FC=1：2．

點評 本題考查的是角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．