Question

3．如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸，y軸分別相交于A、B，將△AOB沿直線AB翻折，得△ACB，若C（$\frac{3}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），則：
①A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0）．
②該一次函數(shù)的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用翻折變換的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CO，AO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．

解答 解：①連接OC，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵將△AOB沿直線AB翻折，得△ACB，C（$\frac{3}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），
∴AO=AC，OD=$\frac{3}{2}$，DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BO=BC，
則tan∠COD=$\frac{CD}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故∠COD=30°，∠BOC=60°，
∴△BOC是等邊三角形，且∠CAD=60°，
則sin60°=$\frac{CD}{AC}$，即AC=$\frac{CD}{sin60°}$=1，
故A（1，0），
②∵sin30°=$\frac{CD}{CO}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
∴CO=$\sqrt{3}$，故BO=$\sqrt{3}$，B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，$\sqrt{3}$），
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
即直線AB的解析式為：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．
故答案為：（1，0），y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．