Question

8．如圖，等邊△ABC中，AO是∠BAC的角平分線，D為AO上一點，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE．
（2）求∠QBC的度數(shù)？
（3）延長BE至Q，P為BQ上一點，連接CP、CQ使CP=CQ=13，若BC=24時，求PQ的長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質可知AC=BC，CD=CE．∠ACB=∠DCE=60°，從而得到∠ACD=∠BCE，依據SAS可證明△ACD≌△BCE；
（2）由角平分線的定義可知：∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，由全等三角形的性質可知∠CBE=∠CAD=30°，故此∠QBC=30°；
（3）在△BCH中根據30°所對的直角邊是斜邊的一半可知HC=12，由等腰三角形三線合一的性質可知PH=HQ，然后在Rt△PCH中由勾股定理可求得PH=5，從而得到PQ=10．

解答 （1）證明：∵△ABC和△CDE為等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE．∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）∵△ABC為等邊三角形且AO是∠BAC的角平分線，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=30°．
∴∠QBC=30°．
（3）過點C作CH⊥BQ于H．

∵∠QBC=30°，∠CHB=90°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×24=12．
∵PC=CQ=13，CH⊥PQ，
∴PH=QH．
∵在Rt△PCH中，PH=$\sqrt{P{C}^{2}-H{C}^{2}}$=5．
∴PH=QH=5．
∴PQ=10．

點評 本題主要考查的是等邊三角形的性質、全等三角形的性質和判定、勾股定理的應用、等腰三角形的性質、含30°直角三角形的性質，證得∠QBC=30°是解題的關鍵．