Question

8．將矩形ABCD（如圖）繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A、B、D分別落在點A₁、B₁、D₁處，如果AB=3，BC=4，那么∠AA₁D₁的正切值是7．

Answer 1

分析 延長A₁ A、D₁ B交于點M，由矩形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ADC=90°，CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABM=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠A₁ D₁ C=∠ADC=90°=∠ABM，CD₁=CD=3，A₁ D₁=AD=4，證出AB∥A₁ D₁，得出△ABM∽△A₁ D₁ M，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出$\frac{AB}{{A}_{1}{D}_{1}}=\frac{BM}{{D}_{1}M}$，求出BM=21，得出D₁ M=28，再由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖所示：延長A₁ A、D₁ B交于點M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，CD=AB=3，AD=BC=4，
∴∠ABM=90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠A₁ D₁ C=∠ADC=90°=∠ABM，CD₁=CD=3，A₁ D₁=AD=4，
∴AB∥A₁ D₁，
∴△ABM∽△A₁ D₁ M，
∴$\frac{AB}{{A}_{1}{D}_{1}}=\frac{BM}{{D}_{1}M}$，
即$\frac{BM}{BM+7}=\frac{3}{4}$，
解得：BM=21，
∴D₁ M=21+3+4=28，
∴tan∠AA₁D₁=$\frac{{D}_{1}M}{{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{28}{4}$=7；
故答案為：7．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．