Question

16．如圖，AB，AC分別切⊙O于B，C，⊙O的直徑BD=6，連接CD，AO，BC．AO與BC相交于點E．
（1）求證：CD∥AO；
（2）設(shè)CD=x，AO=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）若CD、AO（CD＜AO）的長分別為一元二次方程x²-9x+18=0的兩個實數(shù)根，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由AB與AC都為圓的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)AC垂直于OC，AB與OB垂直，根據(jù)垂直的定義得到兩個角為直角，在直角三角形ACO與直角三角形ABO中，由OC=OB，OA為公共邊，利用HL得出三角形ACO與三角形ABO全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊及對應(yīng)角相等得到AB=AC，∠1=∠2，根據(jù)三線合一得到AO與BC垂直，又BD為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到CD與BC垂直，可得出DC與AO都與BC垂直，則AO平行于CD，得證；
（2）由第一問得到CD與AO平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得出∠3=∠4，再由一對直角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，可得出三角形BDC與三角形ABO相似，根據(jù)相似得比例，將各自的邊長代入即可得出y與x的關(guān)系式，并根據(jù)直徑為6，圓中的弦長小于等于直徑可得出x的取值范圍；
（3）由CD、AO的長分別為一元二次方程x²-9x+18=0的兩個實數(shù)根，求出方程的解，可得出CD及AO的值，由CD=OB得出OB的長，在直角三角形ABO中，由AO及OB的長，利用勾股定理即可求出AB的長．

解答 解：（1）連接OC，
∵AB、AC是⊙O的切線，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
在Rt△ACO和Rt△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACO≌Rt△ABO（HL），
∴AB=AC，∠1=∠2，
∴AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠AEC，
∴CD∥AO；

（2）∵CD∥AO，∴∠3=∠4，
∵AB是⊙O的切線，DB是直徑，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∴△BDC∽△AOB，
∴$\frac{BD}{AO}$=$\frac{DC}{OB}$，
即$\frac{6}{y}$=$\frac{x}{3}$，
∴y=$\frac{18}{x}$，
且自變量x的取值范圍為0＜x＜6；

（3）將一元二次方程x²-9x+18=0化為：（x-3）（x-6）=0，
∴x=3或6，
∵CD、AO的長分別為一元二次方程x²-9x+18=0的兩個實數(shù)根，且由（2）知x＜6，
∴只能取x=3，
∴CD=3，AO=6，
在Rt△AOB中，AO=6，OB=3，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，是一道綜合性較強的題目，能靈活應(yīng)用圓周角定理和切線長定理是解決問題的關(guān)鍵．