Question

7．如圖a，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為1的⊙O₁的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，一塊直角三角板ABC的斜邊AB在x軸上，A（-6，0），B（-5，0），∠BAC=30°，該三角板沿x軸正方向以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t
（1）當(dāng)AC邊所在直線與⊙O₁相切時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)頂點(diǎn)C恰好在⊙O₁上時(shí)，求t的值；
（3）如圖b，⊙O₂的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)T是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，以T為頂點(diǎn)作矩形TP₁QP₂，使得點(diǎn)P₁、P₂在⊙O₁上，點(diǎn)Q在⊙O₂的內(nèi)部，直接寫出線段OT的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）畫出圖形求出點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路程即可（注意兩解）．
（2）有兩種情形，畫出圖形求出點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路程即可．
（3）如圖4中，當(dāng)P₁Q與⊙O₂相切于點(diǎn)Q時(shí)，連接OP₁，求出OT，如圖5中，當(dāng)Q與O重合時(shí)，四邊形OP₂TP₁是正方形，求出此時(shí)是OT，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，直線AC與⊙O相切于點(diǎn)T，

在RT△AOT中，∵∠ATO=90°，OT=1，∠TAO=30°，
∴AO=2OT=2，
∴t=6-2=4秒，
根據(jù)對(duì)稱性可知，t=8時(shí)，AC邊所在直線與⊙O₁，
綜上所述，當(dāng)AC邊所在直線與⊙O₁相切時(shí)，t的值為2s或8s；


（2）①如圖2中，連接CO，作CM⊥OA垂足為M．
∵在RT△ABC中，AB=1，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$，AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•CM=$\frac{1}{2}$•AC•CB，
∴CM=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，AM=$\frac{3}{4}$，
在RT△COM中，OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴AO=AM+OM=$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴t=6-（$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{13}}{4}$）=$\frac{21-\sqrt{13}}{4}$．

②如圖3中，由①可知，OA=OM-AM=$\frac{\sqrt{13}}{4}$-$\frac{3}{4}$，
∴t=6+（$\frac{\sqrt{13}}{4}$-$\frac{3}{4}$）.$\frac{21+\sqrt{13}}{4}$
綜上所述t=$\frac{21±\sqrt{13}}{4}$時(shí)，點(diǎn)C在⊙上．

（3）如圖4中，當(dāng)P₁Q與⊙O₂相切于點(diǎn)Q時(shí)，連接OP₁，
∵∠OQP₁=∠OP₂T=90°，
∴O、Q、P₂共線，
在RT△OQP₁中，QP₁=$\sqrt{O{{P}_{1}}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵四邊形TP₁QP₂是矩形，
∴P₂T=P₁Q=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在RT△OP₂T中，OT=$\sqrt{O{{P}_{2}}^{2}+{P}_{2}{T}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，

如圖5中，當(dāng)Q與O重合時(shí)，四邊形OP₂TP₁是正方形，此時(shí)OT=$\sqrt{2}$，
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q在⊙O₂的內(nèi)部時(shí)，$\frac{\sqrt{7}}{2}$＜OT≤$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，第三個(gè)問題需要找到兩個(gè)特殊位置確定OT的取值范圍，注意點(diǎn)Q在⊙O₂內(nèi)部這個(gè)條件，屬于中考?jí)狠S題．