Question

已知：如圖，拋物線y=

1

2

x2+bx+3與x軸的正半軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），且與y軸交于點C，O為坐標(biāo)原點，tan∠OBC=

3

4

．
（1）直接寫出點B、C的坐標(biāo)及b的值；
（2）過線段CB上一點N，作MN∥OC分別交拋物線、x軸于M、T兩點，設(shè)點N的橫坐標(biāo)為t．
①求線段MN的最大值；
②以點N為圓心，MN為半徑作⊙N，當(dāng)點B恰好在⊙N上時，求此時點M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線y=

1

2

x²+bx+3直接得出點C的坐標(biāo)，由OB=4，得出B點坐標(biāo)，代入解析式即可得出b的值，
（2）①首先求出直線CB的解析式，進而得出MN=（-

3

4

t+3）-（

1

2

t²-

11

4

t+3）=-

1

2

（t-2）²+2，得出最值即可；
②根據(jù)當(dāng)0＜t＜4時，由①得：MN=-

1

2

t²+2t，以及當(dāng)t＞4時，點M在點N的上方，MN=

1

2

t²-2t分別求出t的值即可．

解答：解：（1）如圖，∵拋物線y=

1

2

x2+bx+3與y軸交于點C，
∴當(dāng)x=0時，y=3，
則C（0，3）．
∴OC=3
又∵tan∠OBC=

3

4

，
∴

OC

OB

=

3

4

，
∴OB=4．則B（4，0）．
把點B的坐標(biāo)代入y=

1

2

x2+bx+3，得

1

2

×4²+4b+3=0，
解得 b=-

11

4

．
綜上所述，點B（4，0），C（0，3），b=-

11

4

；

（2）①如圖所示，設(shè)過點B（4，0），C（0，3）的直線CB的解析式為：y=kx+m，（k≠0），
∴

4k+m=0 m=3

，
解得：

k=- 3 4 m=3

，
∴直線CB的解析式為：y=-

3

4

x+3，
∵MN∥OC，
∴依據(jù)題意得出：N（t，-

3

4

t+3），則M（t，

1

2

t²-

11

4

t+3），
∵當(dāng)0＜t＜4時，點M在點N的下方，
∴MN=（-

3

4

t+3）-（

1

2

t²-

11

4

t+3），
=-

1

2

t²+2t，
=-

1

2

（t-2）²+2，
∴當(dāng)t=2時，MN有最大值2；

②依據(jù)題意得出：
當(dāng)MN=BN時，點B恰好在⊙N上，
由于t=0，（點M，N重合），
t=4（點M，N和B重合）均不符合題意，故舍去，
a）當(dāng)0＜t＜4時，如圖，由①得：MN=-

1

2

t²+2t，
又∵MN∥OC．OC⊥OB，
∴MN⊥OB，垂足為T（t，0），
∴cos∠NBT=

TB

NB

=

OB

BC

=

4

5

，（I）
即

TB

NB

=

4

5

，
此時點N在點T的上方，點T在點B的左邊．
∴TB=4-t，
代入（I）式得：
NB=

5

4

（4-t），
由

5

4

（4-t）=-

1

2

t²+2t，
整理可得：2t²-13t+20=0，
解得：t₁=4（不合題意舍去），
t₂=

5

2

，
故此時點M的坐標(biāo)是（

5

2

，-

3

4

）；
b）當(dāng)t＞4時，如圖所示，點M在點N的上方，MN=

1

2

t²-2t，
此時點N在點T的下方，點T在點B的右邊，
∴TB=t-4，
代入（I）式，可得：NB=

5

4

（t-4），
由

5

4

（t-4）=

1

2

t²-2t，
整理可得：2t²-13t+20=0，
解得：t₁=4（不合題意舍去），t₂=

5

2

（不合題意舍去）．
綜上所述：符合題意的點M的坐標(biāo)為（

5

2

，-

3

4

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程的解法，根據(jù)已知得出

5

4

（4-t）=-

1

2

t²+2t或

5

4

（t-4）=

1

2

t²-2t是解題關(guān)鍵．