Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A落在y軸上，點(diǎn)C落在x軸上，隨著頂點(diǎn)C中原點(diǎn)O向x軸的正半軸方向移動，頂點(diǎn)A也沿y軸的負(fù)半軸方向運(yùn)動到O，當(dāng)頂點(diǎn)A和原點(diǎn)O重合時(shí)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），在整個(gè)運(yùn)動過程中，點(diǎn)D的移動長度是4$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 如圖1中，頂點(diǎn)A和原點(diǎn)O重合時(shí)，作DH⊥OC于H．利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．如圖2中，作DE⊥OA于E，DF⊥OC于F，取AC中點(diǎn)H，連接OH，DH．首先證明點(diǎn)D在∠AOC的平分線上運(yùn)動，求出OD的最大值、最小值，再判斷點(diǎn)D的運(yùn)動路徑即可解決問題．

解答 解：如圖1中，頂點(diǎn)A和原點(diǎn)O重合時(shí)，作DH⊥OC于H．

∵AC=2$\sqrt{2}$，△ADC是等腰直角三角形，
∴DH=OH=$\sqrt{2}$，
∴D（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
如圖2中，作DE⊥OA于E，DF⊥OC于F，取AC中點(diǎn)H，連接OH，DH．

∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∵DA=DC，∠DEA=∠DFC，
∴△DEA≌△DFC，
∴DE=DF，
∵DE⊥OA于E，DF⊥OC于F，
∴∠DOE=∠DOF=45°，
∴點(diǎn)D在∠AOC的平分線上運(yùn)動，
∵OD≤DH+OH，
∴OD≤2$\sqrt{2}$，
∴OD的最大值為2$\sqrt{2}$，
當(dāng)A與O重合時(shí)，OD的值最小，最小值為2，當(dāng)C與O重合時(shí)，OD的值最小，最小值為2，
觀察圖象可知，OD的值逐漸增大然后逐漸減小，
∴點(diǎn)D的移動長度=2（2$\sqrt{2}$-2）=4$\sqrt{2}$-4，
故答案為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），4$\sqrt{2}$-4．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)（四邊相等，四角相等，對角線互相垂直平分，且平分每一組對角）以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理的運(yùn)用，三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用．