Question

5．已知，拋物線y=ax²（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（4，4），
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，拋物線上存在點(diǎn)B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)：B（-4，4）或（-8，16）．
（3）如圖2，直線l經(jīng)過點(diǎn)C（0，-1），且平行與x軸，若點(diǎn)D為拋物線上任意一點(diǎn)（原點(diǎn)O除外），直線DO交l于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥l，交拋物線于點(diǎn)F，求證：直線DF一定經(jīng)過點(diǎn)G（0，1）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，
（2）分兩種情況，先確定出直線OB或AB，和拋物線解析式聯(lián)立確定出點(diǎn)B的解析式；
（3）先設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，確定出點(diǎn)F坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線DF解析式，將點(diǎn)G坐標(biāo)代入直線DF看是否滿足解析式．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（4，4），
∴16a=4，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²，
（2）存在點(diǎn)B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，
理由：如圖1，

∵使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形
∴直角頂點(diǎn)是點(diǎn)O，或點(diǎn)A，
①當(dāng)直角頂點(diǎn)是點(diǎn)O時(shí)，過點(diǎn)O作OB⊥OA，交拋物線于點(diǎn)B，
∵點(diǎn)A（4，4），
∴直線OA解析式為y=x，
∴直線OB解析式為y=-x，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴B（-4，4），
②當(dāng)直角頂點(diǎn)為點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OA，
由①有，直線OA的解析式為y=x，
∵A（4，4），
∴直線AB解析式為y=-x+8，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=-x+8}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=-8}\\{y=16}\end{array}\right.$，
∴B（-8，16），
∴滿足條件的點(diǎn)B（-4，4）或（-8，16）；
故答案為B（-4，4）或（-8，16）；
（3）證明：設(shè)點(diǎn)D（m，$\frac{1}{4}$m²），
∴直線DO解析式為y=$\frac{m}{4}$x，
∵l∥x軸，C（0，-1），
令y=-1，則x=-$\frac{4}{m}$，
∴直線DO與l交于E（-$\frac{4}{m}$，-1），
∵EF⊥l，l∥x軸，
∴F橫坐標(biāo)為-$\frac{4}{m}$，
∵點(diǎn)F在拋物線上，
∴F（-$\frac{4}{m}$，$\frac{4}{{m}^{2}}$）
設(shè)直線DF解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{m}k+b=\frac{4}{{m}^{2}}}\\{mk+b=\frac{{m}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{{m}^{2}-4}{4m}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線DF解析式為y=$\frac{{m}^{2}-4}{4m}$x+1，
∴點(diǎn)G（0，1）滿足直線DF解析式，
∴直線DF一定經(jīng)過點(diǎn)G．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，直角三角形的性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在直線上，解本題的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)，確定出直線DF的解析式是解本題的難點(diǎn)．