Question

20．閱讀：對(duì)于函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），當(dāng)t₁≤x≤t₂時(shí)，求y的最值時(shí)，主要取決于對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$是否在t₁≤x≤t₂的范圍和a的正負(fù)：①當(dāng)對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$在t₁≤x≤t₂之內(nèi)且a＞0時(shí)，則x=-$\frac{2a}$時(shí)y有最小值，x=t₁或x=t₂時(shí)y有最大值；②當(dāng)對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$在t₁≤x≤t₂之內(nèi)且a＜0時(shí)，則x=-$\frac{2a}$時(shí)y有最大值，x=t₁或x=t₂時(shí)y有最小值；③當(dāng)對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$不在t₁≤x≤t₂之內(nèi)，則函數(shù)在x=t₁或x=t₂時(shí)y有最值．
解決問(wèn)題：
設(shè)二次函數(shù)y₁=a（x-2）²+c（a≠0）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），且2a+c=0．
（1）求a、c的值；
（2）當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，直接寫出函數(shù)的最大值和最小值；
（3）對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)y₂=y₁-kx的最小值稱為k的“特別值”，記作g（k），求g（k）的解析式；
（4）在（3）的條件下，當(dāng)“特別值”g（k）=1時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）將（0，1）代入得：4a+c=1，然后將4a+c=1與2a+c=0聯(lián)立可求得a、c的值；
（2）將a=$\frac{1}{2}$，c=-1代入得y₁=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1，拋物線的對(duì)稱軸為x=2，然后在-2≤x≤1范圍內(nèi)，當(dāng)x=-2時(shí)，y₁有大值，當(dāng)x=1時(shí)，y₁有最小值；
（3）由題意可知y₂=$\frac{1}{2}$x²-（k+2）x+1，拋物線的對(duì)稱軸為x=k+2，然后分為k+2＜-2、-2≤k+2≤1、k+2＞1三種情況分別求得y₂的最小值即可；
（4）由g（k）=1列出關(guān)于k的方程，從而可求得k的值．

解答 解：（1）將（0，1）代入得：4a+c=1．
又∵2a+c=0，
∴2a=1，解得：a=$\frac{1}{2}$．
∴c=-2a=-2×$\frac{1}{2}$=-1．
（2）∵a=$\frac{1}{2}$，c=-1，
∴y₁=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1．
∴x=-$\frac{2a}$=2．
∵x=2不在-2≤x≤1之內(nèi)，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，y₁有最大值，最大值為=$\frac{1}{2}$×16-1=7，當(dāng)x=1時(shí)，y₁有最小值，最小值為=$\frac{1}{2}$×1-1=-$\frac{1}{2}$．
（3）∵y₂=y₁-kx，
∴y₂=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1=-kx=$\frac{1}{2}$x²-（k+2）x+1．
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=k+2．
當(dāng)k+2＜-2時(shí)，即k＜-4時(shí)，當(dāng)x=-2時(shí)，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$×4+2（k+2）+1=2k+7；
當(dāng)-2≤k+2≤1時(shí)，即-4≤k≤-1時(shí)，當(dāng)x=k+2時(shí)，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$（k+2）²-（k+2）²+1=-$\frac{1}{2}$（k+2）²+1．
當(dāng)k+2＞1時(shí)，即k＞-1時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，y₂有最小值，y₂的最小值=$\frac{1}{2}$×1-（k+2）+1=-k-$\frac{1}{2}$．
綜上所述，g（k）的解析式為g（k）=$\left\{\begin{array}{l}{2k+7（k＜-4）}\\{-\frac{1}{2}（k+2）^{2}+1（-4≤k≤-1）}\\{-k-\frac{1}{2}（k＞-1）}\end{array}\right.$．
（4）當(dāng)k＜-4時(shí)：令y=2k+7=1，得k=-3，不合題意舍去；
當(dāng)-4≤k≤-1時(shí)：令y=-$\frac{1}{2}$（k+2）²+1=1；得k=-2．
當(dāng)k＞-1時(shí)：令y=-k-$\frac{1}{2}$=1，得k=-$\frac{3}{2}$，舍去．
綜上所述，k=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，找出二次函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)取得最小值的條件是解答本題的關(guān)鍵．