Question

用16m長的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，CD長表示窗框的寬，EF=0.5m．（鋁合金條的寬度忽略不計）
（1）求窗框的透光面積S（m²）與窗框的寬x（m）之間的函數(shù)關系式；
（2）如何設計才能使窗框的透光面積最大？最大面積為多少？
（3）當窗框的面積不小于7m²時，試結合函數(shù)的圖象，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：

分析：（1）可證明四邊形BCHG、四邊形DEGH、四邊形ABEF是矩形．由圖得出BC以及AC，從而得出用含x的代數(shù)式表示S即可；
（2）根據(jù)（1）關系式利用公式法求出最值即可，
（3）根據(jù)當s=10時解方程即可得出圖象上點的坐標，進而求出與x軸交點坐標，得出圖象即可得出x的取值范圍．

解答：解：（1）在矩形ACDF中，∵∠A=90°，AB∥EF，AF∥BE，
∴四邊形ABEF是矩形，
∴EF=AB=0.5米．GH⊥CD，
∴∠CHG=90°=∠C=∠CBG，
∴四邊形BCHG是矩形，同理四邊形DEGH是矩形．
設AF=x，
∵BC=HG=DE=

16-2×0.5-3x

3

=5-x，AC=BC+AB，
∴y=5-x+0.5=-x+

11

2

．
S=xy=（-x+

11

2

）x=-x ²+

11

2

x（0＜x＜

11

2

），

（2）依題意得S=-x ²+

11

2

x，
當x=-

b

2a

=-

11 2

2×(-1)

=

11

4

時，
S_最大=

4ac-b2

4a

=

0- 121 4

4×(-1)

=

121

16

cm²；

（3）當（-x+

11

2

）x=7，
解得x₁=

7

2

，x₂=4，
當s=0，則0=-x ²+

11

2

x，
解得：x₁=0，x₂=5.5，
圖象與x軸交點坐標為：（0，0），（5.5，0），再利用圖象頂點坐標為：（

11

4

，

121

16

），
如圖所示：

由圖象得出x的取值范圍：3.5≤x≤4．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應用，利用了二次函數(shù)的頂點坐標，由圖象得出x的取值范圍是解題關鍵．