Question

6．如圖，E為菱形ABCD的邊CD上任意點，將CE繞點E旋轉(zhuǎn)一定角度后與AD平行．
（1）如圖，若CE旋轉(zhuǎn)后得到PE和NE，試判斷下列結(jié)論是否成立？
①BD平分AN，成立；
②BD⊥AP，成立（填寫“成立”或“不成立”）；
（2）證明（1）中你的判斷．
（3）若∠ABC=60°，AB=BM=$\sqrt{3}$+1，請直接寫出CE的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意、結(jié)合圖形進(jìn)行猜測；
（2）連接AC、PC、CN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證明∠ECP=∠DCA，得到A、P、C三點共線，根據(jù)菱形的性質(zhì)證明即可；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和余弦的定義求出BH，得到HM，根據(jù)三角形中位線定理求出CN，根據(jù)余弦的定義求出PN，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）①BD平分AN，成立；
②BD⊥AP，成立，
故答案為：①成立；②成立；
（2）連接AC、PC、CN，
∵EP=EC，
∴∠ECP=∠EPC，
∴∠ECP=$\frac{180°-∠PEC}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠PEC，
同理，∠DCA=90°-$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵PN∥AD，
∴∠PEC=∠ADC，
∴∠ECP=∠DCA，
∴A、P、C三點共線，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵CE=PE=EN，
∴∠PCN=90°，
∴CN∥BD，又AH=HC，
∴AM=MN，即BD平分AN；
（3）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴BH=AB×cos30°=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
∴HM=BM-BH=$\sqrt{3}$+1-$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∵AH=HC，AM=MN，
∴CN=2HM=$\sqrt{3}$-1，
∴PN=$\frac{CN}{cos30°}$=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$，
∴CE=$\frac{1}{2}$PN=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查的是菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，掌握菱形的四條邊相等、每條對角線平分一組對角、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．