Question

7．【閱讀理解】
我們知道，1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，那么1²+2²+3²+…+n²結(jié)果等于多少呢？
在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即1²，第2行兩個圓圈中數(shù)的和為2+2，即2²，…；第n行n個圓圈中數(shù)的和為$\underset{\underbrace{n+n+…+n}}{n個n}$，即n²，這樣，該三角形數(shù)陣中共有$\frac{n（n+1）}{2}$個圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為1²+2²+3²+…+n²．

【規(guī)律探究】
將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n-1行的第一個圓圈中的數(shù)分別為n-1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為2n+1，由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：3（1²+2²+3²+…+n²）=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{2}$，因此，1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．
【解決問題】
根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計算：$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+201{7}^{2}}{1+2+3+…+2017}$的結(jié)果為1345．

Answer 1

分析 【規(guī)律探究】將同一位置圓圈中的數(shù)相加即可，所有圈中的數(shù)的和應(yīng)等于同一位置圓圈中的數(shù)的和乘以圓圈個數(shù)，據(jù)此可得，每個三角形數(shù)陣和即為三個三角形數(shù)陣和的$\frac{1}{3}$，從而得出答案；
【解決問題】運用以上結(jié)論，將原式變形為$\frac{\frac{1}{6}×2017×（2017+1）×（2×2017+1）}{\frac{1}{2}×2017×（2017+1）}$，化簡計算即可得．

解答 解：【規(guī)律探究】
由題意知，每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為n-1+2+n=2n+1，
由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：
3（1²+2²+3²+…+n²）=（2n+1）×（1+2+3+…+n）=（2n+1）×$\frac{n（n+1）}{2}$，
因此，1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（2n+1）（n+1）}{6}$；
故答案為：2n+1，$\frac{n（n+1）（2n+1）}{2}$，$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$；

【解決問題】
原式=$\frac{\frac{1}{6}×2017×（2017+1）×（2×2017+1）}{\frac{1}{2}×2017×（2017+1）}$=$\frac{1}{3}$×（2017×2+1）=1345，
故答案為：1345．

點評 本題主要考查數(shù)字的變化類，閱讀材料、理解數(shù)列求和的具體方法得出規(guī)律，并運用規(guī)律解決實際問題是解題的關(guān)鍵．