Question

3．某大學(xué)生利用暑假開(kāi)展了30天的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，參與了某超市的經(jīng)營(yíng)，了解到某成本為10元/件的商品雜x天銷售的相關(guān)信息，如表表示：

銷售量p（件）	P=40-x
銷售單價(jià)q（元/件）	當(dāng)1≤x≤20時(shí)，q=20+x 當(dāng)20＜x≤30時(shí)，q=40

設(shè)該超市在第x天銷售這種商品獲得的利潤(rùn)為y元．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在這30天中，該超市銷售這種商品第幾天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，分別用每件商品的利潤(rùn)乘以這種商品的銷售量，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式即可．
（2）首先分類討論，求出①當(dāng)1≤x≤20時(shí)，②當(dāng)20＜x≤30時(shí)，該超市銷售這種商品所獲的利潤(rùn)是多少，然后比較大小，判斷出該超市銷售這種商品第幾天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少即可．

解答 解：（1）①當(dāng)1≤x≤20時(shí)，
y=（20+x-10）（40-x）
=（10+x）（40-x）
=-x²+30x+400
②當(dāng)20＜x≤30時(shí)，
y=（40-10）（40-x）
=30（40-x）
=-30x+1200
∴$y=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+30x+400（1≤x≤20）\\-30x+1200（20＜x≤30）\end{array}\right.$

（2）①當(dāng)1≤x≤20時(shí)，y=-（x-15）²+625，
∴當(dāng)x=15時(shí)，y_最大值=625元．
②當(dāng)20＜x≤30時(shí)，
∵-30＜0，
∴y隨x的增大而減小，
又∵x取正整數(shù)，
∴當(dāng)x=21時(shí)，y_最大值=570（元）．
∵625＞570，
∴在這30天中，該超市銷售這種商品，第15天的利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為625元．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，考查了單價(jià)、總價(jià)、數(shù)量的關(guān)系，以及函數(shù)解析式的求法，要熟練掌握．
（2）此題還考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的最值的求法，要熟練掌握．