Question

如圖，已知動點C在函數(shù)y=

6

x

(x＞0)的圖象上，CE⊥x軸于點E，CD⊥y軸于點D，延長EC至點G，延長DC至點F，使DE∥GF．直線GF分別交x軸y軸于點A，B．當(dāng)S陰影部分的面積=

4

3

S_△BGD的面積時，則S₁+S₂=

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

專題：

分析：作GH⊥y軸于H．設(shè)C（a，

6

a

），CF=m，CG=n，BH=t，則BD=n+t．先由S_陰影部分=

4

3

S_△BGD，得出

1

2

an+

1

2

×

6

a

m=

4

3

×

1

2

a（n+t），即an+

6

a

m=

4

3

a（n+t）①，由△BHG∽△GCF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

t

n

=

a

m

，即an=mt，m=

an

t

②，由tan∠DEO=tan∠GFC，得出

6 a

a

=

n

m

，即an=m•

6

a

③，比較②③，得t=

6

a

，at=6④，再將②④代入①，求出an=12，然后得到S₁=

1

2

mn=

1

2

×

an

t

×n=

1

2

×

an

6 a

×n=

1

2

×

(an)2

6

=

1

2

×

144

6

=12，S₂=

1

2

×6=3，進而求出S₁+S₂=15．

解答：解：如圖，作GH⊥y軸于H．
設(shè)C（a，

6

a

），CF=m，CG=n，BH=t，則BD=n+t．
∵S_陰影部分=

4

3

S_△BGD，
∴

1

2

an+

1

2

×

6

a

m=

4

3

×

1

2

a（n+t），
即an+

6

a

m=

4

3

a（n+t）①．
∵△BHG∽△GCF，
∴

BH

GC

=

GH

FC

，即

t

n

=

a

m

，
∴an=mt，m=

an

t

②．
∵∠DEO=∠BAO=∠GFC，
∴tan∠DEO=tan∠GFC，
∴

6 a

a

=

n

m

，
∴an=m•

6

a

③，
比較②③，得mt=m•

6

a

，
∴t=

6

a

，at=6④，
將②④代入①，得an+

6

a

×

an

t

=

4

3

an+

4

3

×6，
∴

6n

t

=

1

3

an+8，
∴

6n

6 a

=

1

3

an+8，即an=

1

3

an+8，
∴

2

3

an=8，
∴an=12．
∵S₁=

1

2

mn=

1

2

×

an

t

×n=

1

2

×

an

6 a

×n=

1

2

×

(an)2

6

=

1

2

×

144

6

=12，
S₂=

1

2

×6=3，
∴S₁+S₂=12+3=15．
故答案為15．

點評：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，有一定難度．本題對式子的變形能力有較高要求．