Question

如圖，已知P、Q是△ABC的BC邊上的兩點，且BP=AP=AQ=QC，∠PAQ=60°．
（1）求證：AB=AC；
（2）求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據(jù)等邊對等角可以證得∠APQ=∠AQP，則∠APB=∠AQC，利用SAS即可證得△APB≌△AQC，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得；
（2）首先證明△APQ是等邊三角形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：（1）證明：∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APB=∠AQC，
則在△APB和△AQC中，

AP=AQ ∠APB=∠AQC BP=QC

，
∴△APB≌△AQC，
∴AB=AC；

（2）解：∵AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等邊三角形，
∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°．
∵BP=QC=AP=AQ
∴∠B=∠BAP=30°，∠C=∠CAQ=30°
∴∠BAC=120°．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角．解決的關(guān)鍵是能夠認識到△APQ是等邊三角形，找出題目中的基本圖形，探究題目中的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．