Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，∠EOF=90°，OF交AB于點(diǎn)F，試給出線(xiàn)段AF、FE、EC之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題,證明題,數(shù)形結(jié)合

分析：延長(zhǎng)FO到M，使FO=OM，連接CM，EM，證△AOF≌△COM，推出AF=CM，∠A=∠MCO，求出∠MCE=90°，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)得出EF=EM，在Rt△MCE中，由勾股定理得出ME²=CM²+CE²，代入求出即可．

解答：證明：
延長(zhǎng)FO到M，使FO=OM，連接CM，EM，
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴OA=OC，
在△AOF和△COM中，

AO=OC ∠AOF=∠MOC FO=OM

，
∴△AOF≌△COM（SAS），
∴AF=CM，∠A=∠MCO，
∴AB∥CM，
∵∠B=90°，
∴∠MCE=90°，
∵∠EOF=90°，OF=OM，
∴EF=EM，
在Rt△MCE中，由勾股定理得：ME²=CM²+CE²，
∵EF=EM，CM=AF，
∴AF²+CE²=EF²．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，此題圖形變化很多，而且圖形復(fù)雜，屬于中等難度的題目，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．