Question

15．如圖，以△ABC的兩邊AB、AC為底邊向外做等腰直角三角形ADB和ACE，連接DE，若S_△ADE：S_{四邊形DBCE}=1：2，且tan∠AED=$\frac{3}{4}$，則$\frac{AB}{AC}$的值為$\frac{\sqrt{34}}{5}$．

Answer 1

分析 過A作AH⊥DE于H，過B作BM⊥DE于M，過C作CN⊥DE于N，于是得到∠BMD=∠AHD=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD=BD，∠ADB=90°，于是得到∠DAH=∠BDM，推出△BDM≌△ADH，同理△CEN≌△AEH，由于S_△ADE：S_{四邊形DBCE}=1：2，求得S_△ADE=S_梯形BCNM，根據(jù)梯形的面積公式得到AH•（DH+EH）=（BM+CN）•MN，證得AH=MN，由tan∠AED=$\frac{3}{4}$，設(shè)AH=3x，得到DM=EN=3x，EH=CN=4x，根據(jù)勾股定理求出AD=$\sqrt{34}$x，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：過A作AH⊥DE于H，過B作BM⊥DE于M，過C作CN⊥DE于N，
∴∠BMD=∠AHD=90°，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠ADH+∠BDH=∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠DAH=∠BDM，
在△BDM與△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDH=∠DAH}\\{∠BMD=∠DHA}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△ADH，
同理△CEN≌△AEH，
∵S_△ADE：S_{四邊形DBCE}=1：2，
∴S_△ADE=S_梯形BCNM，
∴AH•（DH+EH）=（BM+CN）•MN，
∴AH=MN，
∵tan∠AED=$\frac{3}{4}$，
∴設(shè)AH=3x，
∴DM=EN=3x，EH=CN=4x，
∴HN=HE-NE=x，AE=5x，
∴MH=2x，
∴DH=DM+MH=5x，
∵AD²=DH²+AH²，
∴AD=$\sqrt{34}$x，
∵△ABD，△ACE是等腰直角三角形，
∴△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$=$\frac{\sqrt{34}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{34}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．