Question

16．如圖1所示，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形．

（1）請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積：a²-b²，（a+b）（a-b）；
（2）請問以上結果可以驗證哪個乘法公式？a²-b²=（a+b）（a-b）；
（3）試利用這個公式計算：
①（2m+n-p）（2m-n+p）      
②$\frac{10{0}^{2}}{25{2}^{2}-24{8}^{2}}$
③（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1．

Answer 1

分析 （1）分別根據(jù)面積公式進行計算；
（2）根據(jù)圖1的面積=圖2的面積列式；
（3）①把后兩項看成一個整體，利用平方差公式進行計算；
②把分母利用平方差公式分解因式，再計算并約分得5；
③添一項2-1后，與第一個括號里的數(shù)組成平方差公式，依次這樣計算可得結果．

解答 解：（1）原陰影面積=a²-b²，拼剪后的陰影面積=（a+b）（a-b），
故答案為：a²-b²，（a+b）（a-b）；
（2）驗證的公式為：a²-b²=（a+b）（a-b）；
故答案為：a²-b²=（a+b）（a-b）；
（3）①（2m+n-p）（2m-n+p），
=[2m+（n-p）][2m-（n-p）]，
=（2m）²-（n-p）²，
=4m²-n²+2np-p²；
②$\frac{10{0}^{2}}{25{2}^{2}-24{8}^{2}}$=$\frac{10{0}^{2}}{（252+248）（252-248）}$=$\frac{10{0}^{2}}{500×4}$=$\frac{10000}{500×4}$=5；
③（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2⁸-1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）（2³²+1）+1，
=（2³²-1）（2³²+1）+1，
=2⁶⁴-1+1，
=2⁶⁴．

點評 本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)幾何圖形得出平方差公式，并利用平方差公式進行計算，因此，本題熟練掌握平方差公式是關鍵．