Question

在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，將△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C₁OD₁，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），連接AC₁、BD₁，AC₁與BD₁交于點P．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形．
①求證：△AOC₁≌△BOD₁．
②請直接寫出AC₁ 與BD₁的位置關系．
（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，設AC₁=kBD₁．判斷AC₁與BD₁的位置關系，說明理由，并求出k的值．
（3）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，AC=5，BD=10，連接DD₁，設AC₁=kBD₁．請直接寫出k的值和AC₁²+（kDD₁）²的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,全等三角形的判定與性質,旋轉的性質,相似三角形的判定與性質

專題：綜合題

分析：（1）①如圖1，根據正方形的性質得OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，則∠AOB=∠COD=90°，再根據旋轉的性質得OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，則OC₁=OD₁，利用等角的補角相等得∠AOC₁=∠BOD₁，然后根據“SAS”可證明△AOC₁≌△BOD₁；
②由∠AOB=90°，則∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，則∠APB=90°所以AC₁⊥BD₁；
（2）如圖2，根據菱形的性質得OC=OA=

1

2

AC，OD=OB=

1

2

BD，AC⊥BD，則∠AOB=∠COD=90°，再根據旋轉的性質得OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，則OC₁=OA，OD₁=OB，利用等角的補角相等得∠AOC₁=∠BOD₁，加上

OC1

OD1

=

OA

OB

，根據相似三角形的判定方法得到△AOC₁∽△BOD₁，得到∠OAC₁=∠OBD₁，由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，則∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，則∠APB=90°，所以AC₁⊥BD₁；然后根據相似比得到

AC1

BD1

=

OA

OB

=

AC

BD

=

5

7

，所以k=

5

7

；
（3）與（2）一樣可證明△AOC₁∽△BOD₁，則

AC1

BD1

=

OA

OB

=

AC

BD

=

1

2

，所以k=

1

2

；根據旋轉的性質得OD₁=OD，根據平行四邊形的性質得OD=OB，則OD₁=OB=OD，于是可判斷△BDD₁為直角三角形，根據勾股定理得BD₁²+DD₁²=BD²=100，所以（2AC₁）²+DD₁²=100，于是有AC₁²+（kDD₁）²=25．

解答：（1）①證明：如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C₁OD₁，
∴OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，
∴OC₁=OD₁，∠AOC₁=∠BOD₁=90°+∠AOD₁，
在△AOC₁和△BOD₁中

OA=OB ∠AOC1=∠BOD1 OC1=OD1

，
∴△AOC₁≌△BOD₁（SAS）；
②AC₁⊥BD₁；

（2）AC₁⊥BD₁．
理由如下：如圖2，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OC=OA=

1

2

AC，OD=OB=

1

2

BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C₁OD₁，
∴OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，
∴OC₁=OA，OD₁=OB，∠AOC₁=∠BOD₁，
∴

OC1

OD1

=

OA

OB

，
∴△AOC₁∽△BOD₁，
∴∠OAC₁=∠OBD₁，
又∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，
∴∠APB=90°
∴AC₁⊥BD₁；
∵△AOC₁∽△BOD₁，
∴

AC1

BD1

=

OA

OB

=

1 2 AC

1 2 BD

=

AC

BD

=

5

7

，
∴k=

5

7

；

（3）如圖3，與（2）一樣可證明△AOC₁∽△BOD₁，
∴

AC1

BD1

=

OA

OB

=

AC

BD

=

1

2

，
∴k=

1

2

；
∵△COD繞點O按逆時針方向旋轉得到△C₁OD₁，
∴OD₁=OD，
而OD=OB，
∴OD₁=OB=OD，
∴△BDD₁為直角三角形，
在Rt△BDD₁中，
BD₁²+DD₁²=BD²=100，
∴（2AC₁）²+DD₁²=100，
∴AC₁²+（kDD₁）²=25．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的性質、旋轉的性質；會運用三角形全等的判定與性質、三角形相似的判定與性質．