Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，將長為2的線段QR的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動．如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿圖中所示方向按A→B→C→D→A滑動到A止，同時(shí)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按B→C→D→A→B滑動到B止．點(diǎn)N是正方形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，把N點(diǎn)落在線段QR的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形內(nèi)的概率記為P，則P=（　�。�

• A、

  4-π

  4

• B、

  π

  4

• C、

  1

  4

• D、

  π-1

  4

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡,幾何概率

專題：

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知：點(diǎn)M到正方形各頂點(diǎn)的距離都為1，故點(diǎn)M所走的運(yùn)動軌跡為以正方形各頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑的四個(gè)扇形，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為正方形ABCD的面積減去4個(gè)扇形的面積，進(jìn)而利用概率公式求出即可．

解答：解：根據(jù)題意得點(diǎn)M到正方形各頂點(diǎn)的距離都為1，點(diǎn)M所走的運(yùn)動軌跡為以正方形各頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑的四個(gè)扇形，
∴點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為正方形ABCD的面積減去4個(gè)扇形的面積．
而正方形ABCD的面積為2×2=4，4個(gè)扇形的面積為4×

90π×12

360

=π，
∴點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為4-π，
∴把N點(diǎn)落在線段QR的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形內(nèi)的概率記為P，則P=

4-π

4

．
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)的軌跡以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正方形的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算，得出點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積是解題關(guān)鍵．