Question

4．半徑為r的圓形紙片在邊長(zhǎng)為a（a≥$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$r）的正六邊形內(nèi)部任意移動(dòng)，則在正六邊形內(nèi)部這個(gè)圓形紙片“不能接觸到的面積”是（　�。�

• A． a²（2$\sqrt{3}$-aπ）
• B． r²（2π-$\sqrt{3}$）
• C． a²r²（2$\sqrt{3}$-π）
• D． r²（2$\sqrt{3}$-π）

Answer 1

分析 當(dāng)⊙O運(yùn)動(dòng)到正六邊形的角上時(shí)，圓與∠ABC兩邊的切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接OE，OF，OB，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知∠ABC=120°，故∠OBF=60°，再由銳角三角函數(shù)的定義用r表示出BF的長(zhǎng)，可知圓形紙片不能接觸到的部分的面積=6×2S_△BOF-S_扇形EOF，由此可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示，連接OE，OF，OB，
∵此多邊形是正六邊形，
∴∠ABC=120°，
∴∠OBF=60°．
∵∠OFB=90°，OF=r，
∴BF=$\frac{OF}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，
∴圓形紙片不能接觸到的部分的面積
=6×2S_△BOF-6S_扇形EOF
=6×2×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$r•r-6×$\frac{60π•{r}^{2}}{360}$
=r²（2$\sqrt{3}$-π）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正多邊形和圓，熟知正六邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．