Question

15．已知：如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜180°），得矩形BEFG，直線BG，EF交直線CD于點(diǎn)P，H．找出與BP相等的線段，并給出證明．

Answer 1

分析 BP=PH，由矩形的對(duì)邊平行可得∠ABP=∠BPH=α、∠CHE=180°-α，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠CBE=α，BC=BE，證Rt△BCH≌Rt△BEH可得∠PHB=∠BHE=$\frac{1}{2}$∠CHE=90°-$\frac{1}{2}$α，∠HBE=∠HBC=$\frac{1}{2}$∠CBE=$\frac{1}{2}$α，結(jié)合∠PBH=∠PBE-∠HBE=90°-$\frac{1}{2}$α得∠PHB=∠PBH，從而得出BP=PH．

解答 解：BP=PH，
如圖，連接PH，

∵四邊形ABCD和四邊形BEFG是矩形，
∴∠BCH=∠E=90°，AB∥CD、BG∥EF，
∴∠ABP=∠BPH=α，∠CHE=180°-α，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠CBE=α，BC=BE，
在Rt△BCH和Rt△BEH中，
∵BC=BE，BH=BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BEH，
∴∠PHB=∠BHE=$\frac{1}{2}$∠CHE=90°-$\frac{1}{2}$α，∠HBE=∠HBC=$\frac{1}{2}$∠CBE=$\frac{1}{2}$α，
∴∠PBH=∠PBE-∠HBE=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠PHB=∠PBH，
∴BP=PH．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角． ③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．