Question

4．如圖：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，動點P以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以1m/s的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設P、Q兩點移動的時間為t秒（0＜t＜5）．
（1）t為多少時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）在P、Q兩點移動過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理計算出AC=10，由于∠PCQ=∠ACB，根據(jù)三角形相似的判定，當∠PQC=∠B時可判斷CQP∽△CBA，利用相似比得到$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{t}{8}$；當∠PQC=∠BAC時可判斷△CQP∽△CAB，利用相似比得到$\frac{10-2t}{8}$=$\frac{t}{10}$，然后分別解方程求出t的值即可；
（2）作PQ⊥BC于H，如圖，先證明△CPH∽△CAB，利用相似比可得到PH=$\frac{30-6t}{5}$，再利用四邊形ABQP與△CPQ的面積相等得到S_△ABC=2S_△CPQ，利用三角形面積公式得到2•$\frac{1}{2}$•t•$\frac{30-6t}{5}$=$\frac{1}{2}$•6•8，然后解關于t的方程可判斷四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠PCQ=∠ACB，
∴當∠PQC=∠B時，△CQP∽△CBA，則$\frac{PC}{AC}$=$\frac{CQ}{CB}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{t}{8}$，解得t=$\frac{40}{9}$（s）；
當∠PQC=∠BAC時，△CQP∽△CAB，則$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，即$\frac{10-2t}{8}$=$\frac{t}{10}$，解得t=$\frac{25}{7}$（s）；
∴t為$\frac{40}{9}$s或$\frac{25}{7}$s時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ABC相似；
（2）四邊形ABQP與△CPQ的面積不能相等．理由如下：
作PQ⊥BC于H，如圖，
∵PH∥AB，
∴△CPH∽△CAB，
∴$\frac{PH}{AB}$=$\frac{PC}{AC}$，即$\frac{PH}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴PH=$\frac{30-6t}{5}$，
當四邊形ABQP與△CPQ的面積相等時，
S_△ABC-S_△CPQ=S_△CPQ，即S_△ABC=2S_△CPQ，
∴2•$\frac{1}{2}$•t•$\frac{30-6t}{5}$=$\frac{1}{2}$•6•8，
整理得t²-5t+20=0，此時方程無實數(shù)解，
∴四邊形ABQP與△CPQ的面積不能相等．

點評 本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．熟練應用相似比計算線段的長．