Question

4．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=10，AC平分∠BCD，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于CD的延長線上的點F，BC=21，CD=9，求AC的長．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AE=AF，證明Rt△AEB≌Rt△AFD，得到BE=DF，根據(jù)CD+DF=BC-BE，求出BE的長，根據(jù)勾股定理求出答案．

解答 解：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，
在Rt△AEB和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEB≌Rt△AFD（HL），
∴BE=DF，
又∵CE=CF，
∴CD+DF=BC-BE，即9+DF=21-BE，
解得BE=DF=6，則CE=15，
由勾股定理得，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=8，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=17．

點評 本題考查的是角平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定和勾股定理，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．