Question

7．如圖，在△ABC中，AB=6，tan∠BAC=$\frac{3}{4}$，點(diǎn)P為AC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為CA延長線上任意一點(diǎn)，以PB、PQ為兩邊作?PQDB，則對角線PD的最小值為$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 由題意可知當(dāng)PD⊥BD時(shí)，對角線PD的最小值，過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，利用平行四邊形的性質(zhì)和已知條件即可求出PD的長．

解答 解：由題意可知當(dāng)PD⊥BD時(shí)，對角線PD的最小值，
∵四邊形PQDB是平行四邊形
∴PQ∥BD，
∴∠ABD=∠BAC，
∵tan∠BAC=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠BAC=$\frac{3}{5}$=sin∠ABD，
過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，如圖所示：
∴當(dāng)PD最小時(shí)，PD=AE，
∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠BAC
=6×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$，
∴對角線PD的最小值為$\frac{18}{5}$，
故答案為：$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是當(dāng)PD最小時(shí)，PD=AE，求PE的長，轉(zhuǎn)化為求線段AE的長．