Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上，頂點B的縱坐標為2$\sqrt{3}$，∠B=60°，OC=$\frac{1}{2}$AC，點P是斜邊DB上的一個動點，則△PAC的周長的最小值為2$\sqrt{7}$+4．
【說明：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．】

Answer 1

分析 作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根據勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答 解：作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵頂點B的縱坐標為2$\sqrt{3}$，∠B=60°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，OA=6，由勾股定理得：OB=4$\sqrt{3}$，
由三角形面積公式得：$\frac{1}{2}$×OA×AB=$\frac{1}{2}$×OB×AM，
∴AM=3，
∴AD=2×3=6，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN=$\frac{1}{2}$AD=3，由勾股定理得：DN=3$\sqrt{3}$，
∵C（1，0），
∴CN=AC-AN=4-3=1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=$\sqrt{{1}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
即PA+PC的最小值是2$\sqrt{7}$，
∴△PAC周長的最小值為：2$\sqrt{7}$+4．
故答案為：2$\sqrt{7}$+4．

點評 本題考查了軸對稱-最短路線問題，三角形的內角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性質的應用，關鍵是求出P點的位置，題目比較好，難度適中．