Question

如圖，已知點(diǎn)A是線段OB的垂直平分線上一點(diǎn)，AN⊥ON，BO⊥ON，P為ON上一點(diǎn)，∠OPB=∠OAB．
（1）若∠AOB=60°，PB=4，則OP=

 

；
（2）在（1）的條件下，求證：PA+PO=PB；
（3）如圖②，若ON=5，求出PO+PB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）易證△AOB是等邊三角形，從而可得∠OPB=∠OAB=60°，即可得到∠OBP=30°，然后根據(jù)30°角所得的直角邊等于斜邊的一半即可求出OP的值；
（2）如圖①，由（1）可得OB=AB，∠ABP=∠OBP=30°，從而可證到△OBP≌△ABP，則有OP=AP=2，即可證到PA+PO=4=PB；
（3）延長ON、BA交于點(diǎn)D，如圖②．由AO=AB，∠DOB=90°可證到∠D=∠AOD，從而可得AD=AO，由AN⊥OD可得DN=ON=5，由∠OPB=∠OAB可得∠AOD=∠PBD，從而得到∠D=∠PBD，則有PD=PB，即可得到PO+PB=PO+PD=OD=10．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A是線段OB的垂直平分線上一點(diǎn)，
∴AO=AB．
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°．
∴∠OPB=∠OAB=60°．
∵BO⊥ON，即∠POB=90°，
∴∠OBP=30°，
∴OP=

1

2

PB=

1

2

×4=2．
故答案為2；

（2）證明：如圖①，
由（1）得OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°，∠OBP=30°，
∴∠ABP=∠ABO-∠OBP=30°=∠OBP．
在△OBP和△ABP中，

OB=AB ∠OBP=∠ABP BP=BP

，
∴△OBP≌△ABP（SAS），
∴OP=AP=2，
∴PA+PO=4=PB；

（3）延長ON、BA交于點(diǎn)D，如圖②．
∵AO=AB，∴∠AOB=∠ABO．
∵∠DOB=90°，
∴∠D+∠OBD=90°，∠AOD+∠BOA=90°，
∴∠D=∠AOD，
∴AD=AO．
∵AN⊥OD，
∴DN=ON=5．
∵∠OPB=∠OAB，
∴∠AOD=∠PBD，
∴∠D=∠PBD，
∴PD=PB，
∴PO+PB=PO+PD=OD=10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、30°角所得的直角邊等于斜邊的一半、等角的余角相等等知識(shí)，證到△OBP≌△ABP是解決第（2）小題的關(guān)鍵，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將PO+PB轉(zhuǎn)化為線段OD是解決第（3）小題的關(guān)鍵．