Question

6．如圖，△DAE，△CBE中，∠DAE=∠CBE=90°，∠DEA=∠CEB=60°，點F為線段CD的中點．

（1）如圖1，當點E在線段AB上時，判斷△ABF的形狀，并加以證明；
（2）如圖2，當A，E，B三點不共線時，（1）中的結論是否還成立？如果不成立，請說明理由，如果成立，請加以證明．

Answer 1

分析 （1）△ABF是等邊三角形，先證明△ADF≌△GCF，再由△ADE∽△BCE得$\frac{EB}{AE}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BC}{CG}$，得CE∥AG，由此即可證明．
（2）結論不變，延長AF到G使得FG=AF，連接BG、AB，由△GCB∽△AEB，∠GBC=∠ABE，$\frac{AB}{BG}$=$\frac{EB}{BC}$得∠ABG=∠EBC=90°，再證明△ABG∽△EBC即可解決問題．

解答 （1）結論：△ABF是等邊三角形．
證明：如圖延長AF、BC交于點G．
∵∠DAE=∠CBE=90°，
∴∠DAE+∠CBE=180°，
∴AD∥BG，
∴∠ADF=∠GCF，
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠GCF}\\{∠DFC=∠GFC}\\{DF=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF=FG，AD=CG，
∵∠ABG=90°，
∴FB=AF=FG，
∵∠DAE=∠CBE，∠DEA=∠CEB=60°，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{EB}{AE}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BC}{CG}$，
∴EC∥AG，
∴∠GAB=∠CEB=60°，
∵FA=FB，
∴△FAB是等邊三角形．
（2）結論不變．
證明：如圖2中，延長AF到G使得FG=AF，連接BG、AB．
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FG}\\{∠DFA=∠CFG}\\{DF=FC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF，
∴AF=FG，AD=CG，
∵∠DAE=∠CBE，∠DEA=∠CEB=60°，
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{EB}{AE}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{BC}{CG}$，
∴$\frac{BC}{EB}$=$\frac{CG}{AE}$，
∴∠GAB=∠CEB=60°，∵FA=FB，
∴△FAB是等邊三角形
∵∠GCB=∠GCF+∠DCE+∠ECB=∠FDA+∠DCE+30°=30°+∠EDC+∠DCE+30°=60°+∠EDC+∠DCE，
∠AEB=360°-∠DEA-∠CEB-∠DEC=360°-60°-60°-（180°-∠EDC-∠DCE）=60°+∠EDC+∠DCE
∴GCB=∠AEB，
∴△GCB∽△AEB，
∴∠GBC=∠ABE，$\frac{AB}{BG}$=$\frac{EB}{BC}$
∴∠ABG=∠EBC=90°，
∵AF=FG，
∴FB=AF=FG，
∵$\frac{AB}{GB}=\frac{EB}{BC}$，∠ABG=∠EBC，
∴△ABG∽△EBC，
∴∠GAB=∠CEB=60°，
∵FA=FB，
∴△FAB是等邊三角形．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形或相似三角形，第二個問題比較難，用了多次相似三角形的判定和性質，屬于中考壓軸題．