Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點E是

AD

上的一點，∠DBC=∠BED．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）已知AD=3，CD=2，求BC的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）AB是⊙O的直徑，得∠ADB=90°，從而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可證明BC是⊙O的切線；
（2）可證明△ABC∽△BDC，則

BC

CA

=

CD

BC

，即可得出BC=

10

．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的切直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，
∴∠BAD=∠DBC，
∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BC

CA

=

CD

BC

，即BC²=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，
∴BC=

10

．

點評：本題考查了切線的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是重點知識要熟練掌握．