Question

20．拋物線y=x²-2mx-3m²（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為M．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求點(diǎn)A、B、M坐標(biāo)；
（2）如圖（1）的條件下，若P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AP為斜邊的等腰直角的直角頂點(diǎn)Q在對稱軸上，（A、P、Q按順時(shí)針方向排列），求P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）如圖2，若一次函數(shù)y=kx+b過B點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，平移直線y=kx+b，使其過拋物線的頂點(diǎn)M，與拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為D，與x軸交于F點(diǎn)，當(dāng)m變化時(shí)，求證：DF：MF是定值．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-2x-3=0可得A（-1，0），B（3，0）；把拋物線解析式配成頂點(diǎn)式可得到M點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）拋物線的對稱軸為直線x=1，直線x=1交x軸于N，設(shè)P（t，t²-2t-3），Q（1，a）作PH⊥直線x=1于點(diǎn)H，如圖，證明△PQH≌△QAN得到QH=AN，PH=QN，則t²-2t-3-a=2，1-t=a，于是可求出t₁=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，t₂=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用y=（x-m）²-4m²得到M（m，-4m²），再解方程x²-2mx-3m²=0得B（3m，0），把B（3m，0）代入y=kx+b得到直線y=kx+b的解析式表示為y=kx-3mk，接著利用方程x²-2mx-3m²=kx-3mk有相等的實(shí)數(shù)解得到△=（2m+k）²-4（-3m²+3mk）=0，所以k=4m，于是可設(shè)直線y=kx+b平移后的解析式為y=4mx+n，然后把M（m，-4m²）代入得-4m²=-4m²+n，解得n=-8m²，于是得到經(jīng)過點(diǎn)D的直線解析式為y=4mx-8m²，再求出F（2m，0），通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx-3{m}^{2}}\\{y=4mx-8{m}^{2}}\end{array}\right.$得D（5m，12m²），作AG⊥x軸于E，MG∥x軸，它們相交于點(diǎn)G，如圖2，利用平行線分線段成比例定理可得到$\frac{DF}{FM}$=$\frac{DE}{EG}$=3．

解答 （1）解：當(dāng)m=1時(shí)，拋物線解析式為y=x²-2x-3，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0）；
∵y=（x-1）²-4，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；
（2）解：拋物線的對稱軸為直線x=1，直線x=1交x軸于N，設(shè)P（t，t²-2t-3），Q（1，a）
作PH⊥直線x=1于點(diǎn)H，如圖，
∵△APQ為等腰直角三角形，
∴PQ=AQ，∠AQP=90°，
∵∠AQH+∠AQN=90°，∠AQN+∠QAN=90°，
∴∠PQH=∠QAN，
在△PQH和△QAN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PHQ=∠ANQ}\\{∠PQH=∠QAN}\\{PQ=QA}\end{array}\right.$，
∴△PQH≌△QAN，
∴QH=AN，PH=QN，
即t²-2t-3-a=2，1-t=a，
∴t²-2t-3-（1-t）=2，
整理得t²-t-5=0，解得t₁=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，t₂=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）；
（3）證明：y=x²-2mx-3m²=（x-m）²-4m²，則M（m，-4m²），
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2mx-3m²=0，解得x₁=-m，x₂=3m，則B（3m，0），
把B（3m，0）代入y=kx+b得3mk+b=0，解得b=-3mk，
則直線y=kx+b的解析式表示為y=kx-3mk，
∵一次函數(shù)y=kx-3mk與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程x²-2mx-3m²=kx-3mk有相等的實(shí)數(shù)解，
方程整理為x²-（2m+k）x-3m²+3mk=0，
∵△=（2m+k）²-4（-3m²+3mk）=0，
∴k=4m，
∴一次函數(shù)y=kx+b表示為y=4mx-12m²，
設(shè)直線y=kx+b平移后的解析式為y=4mx+n，
把M（m，-4m²）代入得-4m²=-4m²+n，解得n=-8m²，
即經(jīng)過點(diǎn)D的直線解析式為y=4mx-8m²，
當(dāng)y=0時(shí)，4mx-8m²=0，解得x=2m，則F（2m，0）
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx-3{m}^{2}}\\{y=4mx-8{m}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=-4{m}^{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5m}\\{y=12{m}^{2}}\end{array}\right.$，則D（5m，12m²）
作AG⊥x軸于E，MG∥x軸，它們相交于點(diǎn)G，如圖2，
∵EF∥MG，
∴$\frac{DF}{FM}$=$\frac{DE}{EG}$=$\frac{12{m}^{2}}{4{m}^{2}}$=3．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解一次函數(shù)的性質(zhì)和平移的意義；靈活運(yùn)用判別式的意義；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．