Question

19．如圖，在邊長為6$\sqrt{2}$的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG，連接EG，過點C作EG的垂線CH，垂足為點H，連接BH，BH=8．有下列結(jié)論：
①∠CBH=45°；②點H是EG的中點；③EG=4$\sqrt{10}$；④DG=2$\sqrt{2}$
其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 連接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，證明△CBE≌△CDG，得到△ECG是等腰直角三角形，證明∠GEC=45°，根據(jù)四點共圓證明①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一證明②正確；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EG的長，得到③正確；求出BE的長，根據(jù)DG=BE，求出BE證明④正確．

解答 解：連接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，
在△CBE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠CBE=∠CDG}\\{BE=DG}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDG，
∴EC=GC，∠GCD=∠ECB，
∵∠BCD=90°，
∴∠ECG=90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∵∠ABC=90°，∠EHC=90°，
∴E、B、C、H四點共圓，
∴∠CBH=∠GEC=45°，①正確；
∵CE=CG，CH⊥EG，
∴點H是EG的中點，②正確；
∵∠HBF=45°，BH=8，
∴FH=FB=4$\sqrt{2}$，又BC=6$\sqrt{2}$，
∴FC=2$\sqrt{2}$，
∴CH=$\sqrt{H{F}^{2}+F{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴EG=2CH=4$\sqrt{10}$，③正確；
∵CH=2$\sqrt{10}$，∠HEC=45°，
∴EC=4$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{E{C}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DG=2$\sqrt{2}$，④正確，
故選：D．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的運用，根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．