Question

4．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE于F，連接OF，已知EF=1，則OF的長(zhǎng)為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則可證得△OFG是等腰直角三角形，設(shè)CE=x，利用勾股定理可得BE的長(zhǎng)，由射影定理列方程，求得EF與CF的長(zhǎng)，繼而求得FG的長(zhǎng)，則可求得答案．

解答 解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，
∵Rt△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG與△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBG=∠OCF}\\{BG=CF}\end{array}\right.$，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，BG=CF，
∴OG⊥OF，
設(shè)CE=x，則DE=2EC=2x，
∴BC=CD=3x，
在Rt△BCE中，
∴BE=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∵EF=1，
∵CE²=EF•BE，
∴x²=$\sqrt{10}$x，
∴x=$\sqrt{10}$，
∴CE=$\sqrt{10}$，BF=BE-EF=10-1=9，
∵CF²=BF•EF=9，
∴CF=3，
∴BG=3，
∴FG=BE-BG-EF=10-3-1=6，
∴OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FG=3$\sqrt{2}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及射影定理．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．