Question

已知如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BM，CM的中點(diǎn)．
（1）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)AD=mDC時(shí)，四邊形MENF是正方形，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）先根據(jù)SAS證明△ABM≌△DCM，得出BM=CM，再根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得出EN=MF，EM=FN，從而根據(jù)四條邊相等的四邊形是菱形得出結(jié)論．
（2）可以利用正方形的性質(zhì)得到MA=AB=MD，從而確定m的值．

解答：解：（1）四邊形MENF是菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D．
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，
∴AM=DM．
在△ABM與△DCM中，

AB=CD ∠A=∠D AM=DM

，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM=CM．
∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)，
∴EN=

1

2

CM=MF，EM=

1

2

BM=FN，
∴ME=EN=NF=FM，
∴四邊形MENF是菱形；

（2）當(dāng)AD=mDC時(shí)，四邊形MENF是正方形，
∴∠EMF=90°，
由（1）知：Rt△ABM≌Rt△DCM（SAS），
∴∠AMB=∠DMC=45°，
此時(shí)MA=MD=DC，
∴AD=2DC，
∴m=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱形的判定．菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分．