Question

12．如圖，已知A（2$\sqrt{3}$，2）、B（2$\sqrt{3}$，1），將△AOB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A旋轉(zhuǎn)到點A′（-2，2$\sqrt{3}$）的位置，B旋轉(zhuǎn)到點B′位置．
（1）求B′點坐標(biāo)．
（2）求陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）由A（2$\sqrt{3}$，2）旋轉(zhuǎn)到點A′（-2，2$\sqrt{3}$），易得旋轉(zhuǎn)角為90°，根據(jù)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后點的橫坐標(biāo)等于旋轉(zhuǎn)前點的縱坐標(biāo)的相反數(shù)，縱坐標(biāo)等于旋轉(zhuǎn)前點的橫坐標(biāo)可得出B′的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，陰影部分的面積等于S_扇形A'OA-S_扇形C'OC，從而根據(jù)A，B點坐標(biāo)知OA=4，OC=OB=$\sqrt{13}$，可得出陰影部分的面積．

解答 解：（1）∵將△AOB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A（2$\sqrt{3}$，2）旋轉(zhuǎn)到點A′（-2，2$\sqrt{3}$）的位置，B旋轉(zhuǎn)到點B′位置，
∴∠A′OA=∠B′OB=90°，
∵B（2$\sqrt{3}$，1），
∴B′點坐標(biāo)為（-1，2$\sqrt{3}$）；

（2）如圖，設(shè)$\widehat{BB′}$與OA交于點C，與OA′交于點C′，
∵A（2$\sqrt{3}$，2）、B（2$\sqrt{3}$，1），
∴OA=4，OC=OB=$\sqrt{13}$．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，S_OB′C′=S_OBC，
∴陰影部分的面積=S_扇形A'OA-S_扇形C'OC=$\frac{1}{4}$π×4²-$\frac{1}{4}$π×（$\sqrt{13}$）²=$\frac{3}{4}$π．

點評 此題主要考查了扇形的面積計算及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出S_OB′C′=S_OBC，從而得到陰影部分的表達(dá)式．