Question

如圖，已知直線y=-

3

x+2

3

與兩坐標軸分別交于A、B兩點，⊙C的圓心坐標為（-2，0），半徑為2，若D是⊙C上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積S的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：先根據(jù)當AD與⊙C相切，且在x軸的上方時，△ABE的面積最小，連接CD，則CD⊥AD，再求出A、B兩點的坐標，再根據(jù)勾股定理求出AD，從而得出S_△ACD，再根據(jù)△AOE∽△ADC，求出△ABE的面積，再根據(jù)當AD與⊙C相切，且在x軸的下方時，△ABE的面積最大，求出△ABE的面積，即可得出△ABE面積S的取值范圍．

解答：解：當AD與⊙C相切，且在x軸的上方時，△ABE的面積最小，
連接CD，則CD⊥AD，
∵直線y=-

3

x+2

3

與兩坐標軸分別交于A、B兩點，
∴A、B兩點的坐標是（2，0），（0，2

3

），
在Rt△ACD中，CD=2，AC=OC+OA=4；
由勾股定理，得：AD=2

3

；
∴S_△ACD=

1

2

AD•CD=

1

2

×2

3

×2=2

3

；
∵△AOE∽△ADC，
∴

S△AOE

S△ADC

=（

AO

AD

）²=（

2

2 3

）²=

1

3

，
∴S_△AOE=

1

3

S_△ADC=

2 3

3

；
∴S_△ABE=S_△AOB-S_△AOE=

1

2

×2×2

3

-

2 3

3

=

4

3

3

；

當AD與⊙C相切，且在x軸的下方時，△ABE的面積最大，
連接CD，則CD⊥AD，
則S_△ABE=S_△AOB+S_△AOE=

1

2

×2×2

3

+

2 3

3

=

8

3

3

；
則△ABE面積S的取值范圍是

4

3

3

≤S≤

8

3

3

．
故答案為：

4

3

3

≤S≤

8

3

3

．

點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是切線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，求出△ABE的面積的最大值和最小值．