Question

如圖，雙曲線y=

5

x

在第一象限的一支上有一點C（1，5），過點C的直線y=kx+b（k＜0）與x軸交于點A（a，0）．
（1）求點A的橫坐標a與k的函數表達式；（不寫自變量取值范圍）
（2）當該直線與雙曲線在第一象限的另一交點D的橫坐標是9時，求△COD的面積．

Answer 1

考點：反比例函數與一次函數的交點問題

專題：

分析：（1）把C和A的坐標代入一次函數的解析式，消去b即可求解；
（2）首先求得D的坐標，則線段CD即可求得，作OE⊥AB于點E，根據三角形的面積公式求得OE的長，然后利用三角形的面積公式求解．

解答：解：（1）根據題意得：

k+b=5…① ak+b=0…②

，
由①得：b=5-k，代入②得：ak+5-k=0，
則：a=

k-5

k

；
（2）在y=

5

x

中，令x=9，則y=

5

9

，
則D的坐標是（9，

5

9

）．
則CD=

(9-1)2+( 5 9 -5)2

=

8 106

9

，
根據題意得：

k+b=5 9k+b= 5 9

，
解得：

k=- 5 9 b= 50 9

，
則一次函數的解析式是：y=-

5

9

x+

50

9

，
令x=0，則y=

50

9

，即B的坐標是（0，

50

9

），
令y=0，則x=10，即A的坐標是（10，0）．
則AB=

( 50 9 )2+100

=

10 26

9

，
作OE⊥AB于點E．
則OE=

50 9 ×10

10 26 9

=

25 26

13

．
S_△COD=

1

2

CD•OE=

1

2

×

8 106

9

×

25 26

13

=

2 689

117

．

點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式，以及三角形的面積的計算，正確求得OE的長是關鍵．