Question

如圖，CA=CB，CD=CE，D在CA上，∠ACB=∠DCE=90°，BD的延長線交AE于F．
（1）求證：
①BD=AE；
②BF⊥AE．
（2）求∠AFC的度數(shù)．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①根據(jù)條件證明△BCD≌△ACE就可以得出結(jié)論；
②由△BCD≌△ACE就可以得出∠BDC=∠AEC，∠DBC=∠EAC，由∠ACB=90°，就可以得出∠DBC+∠AEC=90°，就可以得出∠BFE=90°，進而得出結(jié)論；
（2）由∠ACB=90°，BF⊥AE就可以得出A、B、C、F四點共圓，就有∠AFC與∠ABC互補，進而得出結(jié)論．

解答：解：（1）①在△BCD和△ACE中

BC=AC ∠ACB=∠DCE DC=EC

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE；
②∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，∠DBC=∠EAC．
∵∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠AEC=90°，
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥AE；
（2）∵∠AFE=90°，
∴∠AFB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴A、B、C、F四點共圓，
∴∠AFC+∠ABC=180°．
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠AFC=135°．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．