Question

如圖，一次函數(shù)y=

1

2

x-2的圖象分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象過A、B兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第四象限交直線AB于點(diǎn)M，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)N．求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)直線和二次函數(shù)的解析式表示出MN，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）分AM、AN是對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等求AD=MN，然后求出OD的長(zhǎng)度，再寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；MN是對(duì)角線時(shí)，求出MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)中心對(duì)稱寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）令x=0，則y=-2，
令y=0，則

1

2

x-2=0，解得x=4，
所以，點(diǎn)A（0，-2），B（4，0），
∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象過A、B兩點(diǎn)，
∴

c=-2 16+4b+c=0

，
解得

b=- 7 2 c=-2

，
∴這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=x²-

7

2

x-2；

（2）由題意得，MN=

1

2

t-2-（t²-

7

2

t-2），
=-t²+4t，
=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4；

（3）如圖，①AM是對(duì)角線時(shí)，AD=MN=4，
∴OD=4-2=2，
此時(shí)點(diǎn)D₁（0，2），
②AN是對(duì)角線時(shí)，AD=MN=4，
∴OD=4+2=6，
此時(shí)點(diǎn)D₂（0，-6），
③MN是對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-1），N（2，-5），
線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），
∵點(diǎn)A（0，-2），
∴點(diǎn)D₃的橫坐標(biāo)為2×2-0=4，
縱坐標(biāo)為2×（-3）-（-2）=-6+2=-4，
此時(shí)，點(diǎn)D₃（4，-4），
綜上所述，點(diǎn)D₁（0，2），D₂（0，-6），D₃（4，-4）時(shí)，以A、M、N、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，平行四邊形的中心對(duì)稱性，難點(diǎn)在于（3）分情況討論．