Question

13．已知，如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）設點G是對稱軸上一點，求當△GAB周長最小時，點G的坐標；
（3）若拋物線對稱軸交x軸于點P，在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫出所有符合條件的點Q的坐標，并選擇其中一個的加以說明；若不存在，說明理由；
（4）設點M是x軸上的動點，試問：在平面直角坐標系中，是否存在點N，使得以點A、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由線段長度求出三個點的坐標，再用待定系數(shù)法求解即可；
（2）找到點B關于拋物線對稱軸的對稱點A，取AB與拋物線對稱軸的交點即可；
（3）分別過點P，A作AP的垂線，取點Q，根據(jù)等腰直角三角形構建全等三角形即可求解；
（4）根據(jù)以AB為邊和以AB為對角線進行討論，結合菱形的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）由題意可求，A（0，2），B（-1，0），點C的坐標為（4，0）．
設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x-4）（x+1），
把點A（0，2）代入，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
所以拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x+1）=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$，
（2）如圖1

物線y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$的對稱軸為：x=$\frac{3}{2}$，
由點C是點B關于直線：x=$\frac{3}{2}$的對稱點，所以直線AC和直線x=$\frac{3}{2}$的交點即為△GAB周長最小時的點G，
設直線AC的解析式為：y=mx+n，把A（0，2），點C（4，0）代入得：．
$\left\{\begin{array}{l}{2=n}\\{0=4m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
所以：y=$-\frac{1}{2}$x+2，
當x=$\frac{3}{2}$時，y=$\frac{5}{4}$，
所以此時點G（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
（3）如圖2

使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形的所有符合條件的點Q的坐標：Q₁（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），Q₂（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），Q₃（2，$\frac{7}{2}$），Q₄（-2，$\frac{1}{2}$），
證明Q₁：過點Q₁作Q₁M⊥x軸，垂足為M，
由題意：∠APQ₁=90°，AP=PQ₁，
∴∠APO+∠MPQ₁=90°，
∵∠APO+∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠MPQ₁，
在△AOP和△MPQ₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠PM{Q}_{1}=90°}\\{∠PAO=∠MP{Q}_{1}}\\{AP={Q}_{1}P}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△MPQ₁，
∴PM=AO=2，Q₁M=OP=$\frac{3}{2}$，
∴OM=$\frac{7}{2}$，
此時點Q的坐標為：（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（4）存在
點N的坐標為：（0，-2），（$\sqrt{5}$，2），（-$\sqrt{5}$，2），（$-\frac{5}{2}$，2）．

點評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；結合對稱點解決線段和最小問題；熟悉等腰直角三角形的性質(zhì)，并應用于點的存在的研究；熟悉菱形的性質(zhì)，并運用于菱形頂點的存在性研究是解決此題的關鍵．