Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與直線AC分別交于x軸，y軸于點(diǎn)B、C、A，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，交y軸與點(diǎn)E，若∠BAC=45°，點(diǎn)B、C、E的坐標(biāo)分別B（-3，0）、C（2，0）、E（0，1），過(guò)點(diǎn)A作AF∥x軸，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)K，使△OKF與△OCF全等？若存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)并畫(huà)出圖形；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 先根據(jù)勾股定理求出BE，再證明△OBE∽△DBC，得出比例式$\frac{OB}{BD}=\frac{BE}{BC}=\frac{OE}{DC}$，求出BD、DC，再由△AOC∽△BOE，得出比例式求出OA，證出△ABD是等腰直角三角形，得出AD=BD，然后由AF∥BC，證出△OCD∽△FAD，得出AF=OA，△AOF是等腰直角三角形，得出∠AOF=∠COF=45°，由△OKF≌△OCF，得出OK=OC=2，點(diǎn)K在y軸上，即可得出點(diǎn)K的坐標(biāo)．

解答 解：存在，點(diǎn)K坐標(biāo)為：0，2）；理由如下：
∵B（-3，0）、C（2，0）、E（0，1），
∴OB=3，OC=2，OE=1，
∴BC=5，BE=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵∠EBO=∠CBD，
∴△OBE∽△DBC，
∴$\frac{OB}{BD}=\frac{BE}{BC}=\frac{OE}{DC}$，
即$\frac{3}{BD}=\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{1}{DC}$，
∴BD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，DC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵∠AOC=∠BOE=90°，
∴∠OAC+∠OCA=90°，∠EBO+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠EBO，
∴△AOC∽△BOE，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OE}$=$\frac{2}{1}$，
∴OA=2OB=6，
∵∠BAC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∵AF∥BC，
∴∠OAF=∠AOB=90°，△OCD∽△FAD，
∴$\frac{OC}{AF}=\frac{DC}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴AF=3OC=6，
∴OA=AF，
∴∠AOF=∠AFO=45°，
∴∠COF=45°，
∵△OKF≌△OCF，
∴OK=OC=2，點(diǎn)K在y軸上，
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為：（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了坐標(biāo)與圖形特征、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，本題難度較大，綜合性強(qiáng)，需要證明三角形相似得出比例式和等腰直角三角形才能得出結(jié)果．