Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P為下底上一點（不與B、C重合），連結AP，過P點作PE交DC于E，使得∠APE=B．
（1）求證：△ABP∽△PCE；
（2）若BP=1cm，求點E分DC所成的比？

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,等腰梯形的性質

專題：

分析：（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可證得∠BAP=∠EPC，根據(jù)有兩角對應相等的三角形相似，即可證得：△APB∽△PEC；
（2）首先過點D作DF⊥BC交BC于點F，得出CF=2cm，又由△APB∽△PEC，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△APB∽△PEC；

（2）解：如圖，

過點D作DF⊥BC交BC于點F，
則CF=2cm，
在Rt△DCF中，∠C=60°，CF=2cm，
∴DC=4cm，
∵△APB∽△PEC，
∴

AB

PC

=

BP

EC

，
即

4

6

=

1

EC

，
∴EC=

3

2

cm，DE=

5

2

cm．

點評：此題考查了等腰梯形的性質、相似三角形的判定與性質．注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．