Question

3．已知直線l：y=ax-a+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，O點為坐標(biāo)原點，△ABO外接圓的圓心為點C．設(shè)經(jīng)過C點的反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，當(dāng)點O到直線l距離最大時，k=$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 令x=0，則y=2-a，令y=0則x=$\frac{a-2}{a}$，得到A（$\frac{a-2}{a}$，0），B（0，2-a），由△ABO外接圓的圓心為點C得到點C是AB的中點，求得C（$\frac{a-2}{2a}$，$\frac{2-a}{2}$），當(dāng)點O到直線l距離最大時，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AO=BO，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵直線l：y=ax-a+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，
令x=0，則y=2-a，令y=0則x=$\frac{a-2}{a}$，
∴A（$\frac{a-2}{a}$，0），B（0，2-a），
∵O點為坐標(biāo)原點，
∴∠AOB=90°，
∵△ABO外接圓的圓心為點C，
∴點C是AB的中點，
∴C（$\frac{a-2}{2a}$，$\frac{2-a}{2}$），
當(dāng)點O到直線l距離最大時，△ABC是等腰直角三角形，
∴AO=BO，
∴$\frac{a-2}{a}$=2-a，
解得：a=2或a=-1，
當(dāng)a=-1時，C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴k=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)a=2時，C（0，0）（不合題意，舍去）
∴k=$\frac{9}{4}$．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰直角三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．