Question

17．如圖，正方形OABC的邊長為2，以O為圓心，EF為直徑的半圓經(jīng)過點A，連接AE，CF相交于點P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞著點O逆時針旋轉90°，交點P運動的路徑長是$\sqrt{2}$π．

Answer 1

分析 如圖點P運動的路徑是以G為圓心的弧$\widehat{EF}$，在⊙G上取一點H，連接EH、FH，只要證明∠EGF=90°，求出GE的長即可解決問題．

解答 解：如圖點P運動的路徑是以G為圓心的弧$\widehat{EF}$，在⊙G上取一點H，連接EH、FH．
∵四邊形AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFP=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，
∵EF是⊙O直徑，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠EPF=135°，
∵EF是定值，
∴點P在以點G為圓心，GE為半徑的圓上，
∴∠H=∠APF=45°，
∴∠EGF=2∠H=90°，
∵EF=4，GE=GF，
∴EG=GF=2$\sqrt{2}$，
∴$\widehat{EF}$的長=$\frac{90π•2\sqrt{2}}{180}$=$\sqrt{2}$π．
故答案為$\sqrt{2}$π．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、軌跡、圓等知識，解題的關鍵是正確發(fā)現(xiàn)軌跡的位置，學會添加輔助線，利用圓的有關性質(zhì)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．