Question

5．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′位置，AB′與CD交于點E，且AB=8，AD=4．
（1）求證：AE=EC；
（2）求EC的長；
（3）點P為線段AC上任一點，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H．求PG+PH的值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由翻折變換的性質(zhì)可知：∠EAC=∠BAC，由平行線的性質(zhì)可知∠ECA=∠BAC，故∠EAC=∠ECA，從而得到EA=EC；
（2）設(shè)EA=EC=x，DE=8-x，然后在Rt△DEA中，由勾股定理列方程求解即可；
（3）根據(jù)S_△AEP+S_△ECP=S_△ECA求解即可．

解答 解：（1）由翻折變換的性質(zhì)可知：∠EAC=∠BAC，
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC．
∴∠EAC=∠ECA．
∴EA=EC．
（2）設(shè)EA=EC=x，DE=8-x；
在Rt△DEA中，由勾股定理得：AE²=AD²+DE²，即x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5．
∴EC=5．
（3）如圖所示；連接EP．

∵PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，
∴${S}_{△AEP}=\frac{1}{2}AE•GP$，${S}_{△ECP}=\frac{1}{2}EC•PH$．
∵S_△AEP+S_△ECP=S_△ECA，
∴$\frac{1}{2}AE•GP+\frac{1}{2}EC•PH$=$\frac{1}{2}EC•AD$，即$\frac{1}{2}×5×PG+\frac{1}{2}×5×PH$=$\frac{1}{2}×5×4$．
∴PG+PH=4．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應用、等腰三角形的判定，利用面積求得PG+PH=4是解題的關(guān)鍵．