Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，A（3，0），D（1，1），點(diǎn)B，C在第一象限內(nèi)．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將正方形ABCD以每秒1個單位的速度沿x中向左平移，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，若存在某一時刻t，使在第二象限內(nèi)點(diǎn)B，D兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′、D′所在直線與y軸交于點(diǎn)E，并且OE=OA，請求出此時t的值以及直線B′D′的解析式；
（3）在（2）的條件下，求出點(diǎn)B′、D′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作BM⊥x軸于M，DN⊥x軸于N，先證得△ADN≌△ABM，得出AM=DN，BM=AN，根據(jù)A（3，0），D（1，1）得出ON=1，DN=1，OA=3，進(jìn)而得出OM=4，BM=2，AN=2，從而求得B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線BD的斜率k=$\frac{1}{3}$，然后根據(jù)題意即可得出直線B′D′的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+3；根據(jù)平移的性質(zhì)，根據(jù)B、D的坐標(biāo)得出B′（4-t，2），D′（1-t，1），代入直線B′D′的解析式即可求得t的值．
（3）根據(jù)B′（4-t，2），D′（1-t，1），和t的值即可求得點(diǎn)B′、D′的坐標(biāo)．

解答 解：（1）作BM⊥x軸于M，DN⊥x軸于N，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAN+∠BAM=90°，
∴∠DAN=∠ABM，
在△ADN和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAN=∠ABM}\\{∠AND=∠AMB=90°}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ABM（AAS），
∴AM=DN，BM=AN，
∵A（3，0），D（1，1），
∴ON=1，DN=1，OA=3，
∴AN=2，
∴OM=4，BM=2，
∴B（4，2）．

（2）∵B（4，2），D（1，1），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{1}{3}$，
∵正方形ABCD以每秒1個單位的速度沿x軸向左平移，且OE=OA，
∴直線B′D′的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+3，
B′（4-t，2），D′（1-t，1），
∴1=$\frac{1}{3}$（1-t）+3，解得t=7，

（3）∵t=7，B′（4-t，2），D′（1-t，1），
∴B（-3，2），D（-6，1）．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟悉兩條平行線的斜率相等是解題的關(guān)鍵．