Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于D，CF⊥AB于F，若tan∠A=2，求sin∠DCF的值．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：連接DO并延長交CF的延長線于E，過D作DG⊥AB于G，根據(jù)切線的性質求得ED⊥DC，進而求得∠AOD=∠DCF，根據(jù)已知設AG=x，則GD=2x，設OA=OD=y，則OG=（y-x），在RT△OGD中，根據(jù)勾股定理得：OG²+GD²=OD²，即（y-x）²+（2x）²=y²，解得y=

5

2

x，解直角三角函數(shù)即可求得sin∠DCF的值．

解答：解：連接DO并延長交CF的延長線于E，過D作DG⊥AB于G，
∵CD切⊙O于D，
∴ED⊥DC，
∵CF⊥AB，
∴∠EFO=∠EDC=90°，
∴∠EOF=∠DCF，
∵∠AOD=∠EOF，
∴∠AOD=∠DCF，
∵tan∠A=2，
∴

GD

AG

=2，
∴GD=2AG，
設AG=x，則GD=2x，
設OA=OD=y，則OG=（y-x），
在RT△OGD中，根據(jù)勾股定理得：OG²+GD²=OD²，
即（y-x）²+（2x）²=y²，解得y=

5

2

x，
∴sin∠DCF=sin∠GOD=

GD

OD

=

2x

5 2 x

=

4

5

．

點評：本題考查了切線的性質，勾股定理的應用，解直角三角函數(shù)，作出輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．