Question

如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+2與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（4，0）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是位于x軸上方對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，F(xiàn)C∥x軸，與對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)交于點(diǎn)C，且四邊形OECF是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解方程組求出a、b的值，即可得解；
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求出對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式計(jì)算求出縱坐標(biāo)，即可得解；
（3）設(shè)AC、EF的交點(diǎn)為D，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后分①點(diǎn)O是直角頂點(diǎn)時(shí)，求出△OED和△PEO相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出PE，然后寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；②點(diǎn)C是直角頂點(diǎn)時(shí)，同理求出PF，再求出PE，然后寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；③點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，利用勾股定理列式求出OC，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得PD=

1

2

OC，再分點(diǎn)P在OC的上方與下方兩種情況寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（1，0）和B（4，0）代入y=ax²+bx+2得，

a+b+2=0 16a+4b+2=0

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2

，
所以，拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=

5

2

，
∵四邊形OECF是平行四邊形，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是

5

2

×2=5，
∵點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上，
∴y=

1

2

×5²-

5

2

×5+2=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，2）；

（3）設(shè)OC與EF的交點(diǎn)為D，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，2），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

5

2

，1），
①點(diǎn)O是直角頂點(diǎn)時(shí)，易得△OED∽△PEO，
∴

OE

DE

=

PE

OE

，
即

5 2

1

=

PE

5 2

，
解得PE=

25

4

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，-

25

4

）；
②點(diǎn)C是直角頂點(diǎn)時(shí)，同理求出PF=

25

4

，
所以，PE=

25

4

+2=

33

4

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，

33

4

）；
③點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得，OC=

52+22

=

29

，
∵PD是OC邊上的中線(xiàn)，
∴PD=

1

2

OC=

29

2

，
若點(diǎn)P在OC上方，則PE=PD+DE=

29

2

+1，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，

2+ 29

2

），
若點(diǎn)P在OC的下方，則PE=PD-DE=

29

2

-1，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，

2- 29

2

），
綜上所述，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P（

5

2

，-

25

4

）或（

5

2

，

33

4

）或（

5

2

，

2+ 29

2

）或（

5

2

，

2- 29

2

），使△OCP是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）根據(jù)直角三角形的直角頂點(diǎn)分情況討論．