Question

11．如圖1，在矩形ABCD中，AD=12，E為BC的中點(diǎn)，作DF⊥AE，垂足為F．
（1）求證：△ABE∽△DFA；
（2）如圖2，若點(diǎn)F在線段AE的延長線上，求線段AB的取值范圍；
（3）如圖3，若F在線段AE上，DF與AC交與點(diǎn)H，且 $\frac{AH}{HC}$=$\frac{18}{11}$，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證明．
（2）由△ABE∽△DFA得到$\frac{12}{AE}$=$\frac{AF}{6}$，AF=$\frac{72}{AE}$，求出AE=AF時(shí)，AB的值即可解決問題．
（3）由△ADH∽△CHM得到$\frac{AH}{HC}$=$\frac{AD}{MC}$=$\frac{18}{11}$，求出CM、ME，設(shè)AB=a，則有AE=$\sqrt{36+{a}^{2}}$，EF=$\frac{1}{10}$$\sqrt{36+{a}^{2}}$，由△MFE∽△ABE列出方程即可解決．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC
∵DF⊥AE∴∠AFD=∠B=90°，
∵AD∥BC∴∠DAF=∠BEA，
∴△ABE∽△DFA．
（2）如圖2中，

解：∵△ABE∽△DFA
∴$\frac{12}{AE}$=$\frac{AF}{6}$，AF=$\frac{72}{AE}$，
當(dāng)AF=AE=6$\sqrt{2}$時(shí)△ABE和△DCE為等腰直角三角形，可得AB=6．
當(dāng)點(diǎn)F在線段AE的延長線時(shí)0＜AB＜6．
 （3）如圖3中，

當(dāng)AB＞6時(shí)，延長DF交BC于點(diǎn)M
∵AD∥BC∴△ADH∽△CHM
∴$\frac{AH}{HC}$=$\frac{AD}{MC}$=$\frac{18}{11}$，
∴CM=$\frac{22}{3}$，則有ME=$\frac{4}{3}$，
∵AD∥ME
∴△ADF∽△EMF
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AD}{ME}$=$\frac{9}{1}$，
設(shè)AB=a，則有AE=$\sqrt{36+{a}^{2}}$，EF=$\frac{1}{10}$$\sqrt{36+{a}^{2}}$，
∵∠FEM=∠AEB，∠MFE=∠B=90°
∴△MFE∽△ABE，
∴$\frac{ME}{AE}$=$\frac{EF}{BE}$
∴$\frac{\frac{4}{3}}{\sqrt{36+{a}^{2}}}$=$\frac{\frac{1}{10}\sqrt{36+{a}^{2}}}{6}$，
∴a²+36=80，
∴a=2$\sqrt{11}$，即AB=2$\sqrt{11}$，

點(diǎn)評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)解決問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．